微分方程式の一般的解法

自分自身の復習もかねて微分方程式の一般的解法をまとめています。大学の進度に合わせて作成しているので、未完成な箇所が多いとは思いますが、順次更新していく予定です。

間違い等あれば、ご連絡いただけると有難いです。

一階微分方程式

\(y^{‘} + f(x)y = g(x)\) で表されるとき、一回微分方程式とよぶ。この場合、\(\displaystyle y^{‘} = \frac{dy}{dx} = \)の形に変形すると、解きやすい場合がある。

変数分離型

\[\frac{dy}{dx} = f(x)g(x)\]

つまり

\[\frac{dy}{dx} = (xの関数とyの関数の積・商)\]

のとき、左辺と右辺をそれぞれ\(x\)あるいは\(y\)の関数のみにしてやれば,

\[\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx\]

となるので、両辺積分すれば、

\[G(y) = \int \frac{dy}{g(y)} = F(x) + C = \int f(x)dx +C\]

これが変数分離型の解き方である。

同次形

\[\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)\]

と変形できるとき、これを同次形といい、\(y = xu\)なる\(u\)、つまり\(\displaystyle u = \frac{y}{x}\)をとることで変数分離型にできる。

\[y’ = (xu)’ = u + xu’ (積の微分法)\]

より、元の微分方程式は

\[\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right) = u + xu’ = f(u) つまり \frac{du}{dx} = \frac{f(u) – u}{x}\]

これは\(x\)の関数と\(u\)の関数の積あるいは商であるため、確かに変数分離型で解ける。

変数分離型で解いたのち、\(y = ux\)より変形しなおせばよい。

一階線形微分方程式

\[y’+ P(x)y = Q(x)\]

という形が一階線形微分方程式である。この形の解法としては定数変化法がもっとも平易であろう。

\[y’ + P(x)y = 0\]

を同次方程式（同次形ではない）とよぶ。同次方程式は定数分離型で解くことができる。

同次方程式の解は、

\[y = C(x)e~{-\int P(x)dx}\]

で与えられるから、定数\(C\)を関数\(C(x)\)に変換して再度

\[y’ + P(x) = Q(x)\]

に代入して\(C(x)\)を確定させることで、結局解として、

\[y = \left(\int Q(x)e^{int P(x)dx}dx + C’\right)e^{-\int P(x)dx}\]

が得られる。

ベルヌーイの微分方程式

\[y’ + P(x)y = Q(x)y^n\]

つまり\(y’, y, y^n\)がある場合、右辺が\(Q(x)\)になるよう、\(y^{-n}\)を両辺にかけることで、

\[y^{-n}\cdot y’ + P(x)y^{1-n} = Q(x)\]

となる。ここで、\(\displaystyle y^{-n}\cdot y’ = \frac{(y^{1 – n})’}{1 – n}\) となるので、

\(y^{1 – n} = u\)とおけば、微分方程式は、

\[\frac{u’}{1 – n} + P(x)u = Q(x)\]

となり、これは明らかに\(u\)と\(x\)についての一階微分方程式であるので、解ける。

完全微分方程式

$$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0,$$
$$※M(x,y)_y = N(x,y)_x$$
のとき、これを完全微分方程式と呼ぶ。この解は、
$$K(x,y) + \int L(y)dy = C$$
$$※K(x,y) = \int M(x,y)dx,L(y) = N(x,y) – \frac{\partial }{\partial y}K(x,y)$$
で得られる。

二階線形微分方程式

$$y” + ay’ + by = Q(x)$$
これを二階線形微分方程式と呼ぶ。一階微分方程式同様、同次方程式の解を求めることから出発する。